Calcolo Esempi

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $p$ uguale a $1$ .

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2} = \sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} - \sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} = - 9 \sum_{p = 1}^{8} p + \sum_{p = 1}^{8} p^{2}$

Passaggio 2.2

Calcola $9 \sum_{p = 1}^{8} p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 2.2.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 9) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Somma $8$ e $1$ .

$- 9 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $8$ per $9$ .

$- 9 (\frac{72}{2})$

Passaggio 2.2.3.3

Dividi $72$ per $2$ .

$- 9 \cdot 36$

Passaggio 2.2.3.4

Moltiplica $- 9$ per $36$ .

$- 324$

Passaggio 2.3

Calcola $\sum_{p = 1}^{8} p^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Somma $8$ e $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Passaggio 2.3.3.2.4

Somma $16$ e $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Passaggio 2.3.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.3.1

Moltiplica $36$ per $17$ .

$\frac{612}{3}$

Passaggio 2.3.3.3.2

Dividi $612$ per $3$ .

$204$

Passaggio 2.4

Somma i risultati delle sommatorie.

$- 324 + 204$

Passaggio 2.5

Somma $- 324$ e $204$ .

$- 120$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Espandi la serie per ciascun valore di $p$ .

$- 9 \cdot 1 + 1^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9 + 1^{2}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$- 9 + 1$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 9$ e $1$ .

$- 8$

Passaggio 4

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$- 120 + 8$

Passaggio 5

Somma $- 120$ e $8$ .

$- 112$