Calcolo Esempi

$\int_{e}^{e^{e}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Passaggio 1.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{e})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $e$ dall'esponente.

$u_{upper} = e \ln (e)$

Passaggio 1.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = e \cdot 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $e$ per $1$ .

$u_{upper} = e$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{e}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $e$ e per $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{e}{| 1 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{e}{1})$

Passaggio 5.3

Dividi $e$ per $1$ .

$\ln (e)$

Passaggio 6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$1$