Calcolo Esempi

$\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Passaggio 4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 - x^{3}$ . Allora $d u = - 3 x^{2} d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 - x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$- 3 x^{2}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$9 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Passaggio 6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$9 \int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$9 (- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- 9 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

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Passaggio 10.1.1

$\frac{1}{3}$ e $- 9$ .

$\frac{- 9}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2

Elimina il fattore comune di $- 9$ e $3$ .

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Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.1.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 10.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 10.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 10.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 10.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 10.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Riscrivi $- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{3}$ .

$- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$