Calcolo Esempi

$3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 2 x y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$6 x x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$6 x x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$6 x x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x x' + 2 (x + y x') + 2 y$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x x' + 2 x + 2 (y x') + 2 y$

Passaggio 2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 x x' + 2 x + 2 y x' + 2 y$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 x x' + 2 y x' + 2 x + 2 y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x x' + 2 y x' + 2 y = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x x' + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 x'$ da $6 x x' + 2 y x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x'$ da $6 x x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 y x' = - 2 x - 2 y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 x'$ da $2 y x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 x' y = - 2 x - 2 y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 x'$ da $2 x' (3 x) + 2 x' y$ .

$2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 (3 x + y)$ ciascun termine in $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 (3 x + y)$ ciascun termine in $2 x' (3 x + y) = - 2 x - 2 y$ .

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x' (3 x + y)}{2 (3 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3 x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (3 x + y)}{3 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{2 (- x)}{2 (3 x + y)} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{- x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- 2 y}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{2 (- y)}{2 (3 x + y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} + \frac{- y}{3 x + y}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x}{3 x + y} - \frac{y}{3 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- x - y}{3 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$x' = \frac{- (x) - y}{3 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$x' = \frac{- (x) - (y)}{3 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (y)$ .

$x' = \frac{- (x + y)}{3 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.5.1

Riscrivi $- (x + y)$ come $- 1 (x + y)$ .

$x' = \frac{- 1 (x + y)}{3 x + y}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x + y}{3 x + y}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x + y}{3 x + y}$