Calcolo Esempi

$\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{10} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.3

$5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Scomponi $5$ da $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} - (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{4}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.4

$\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.5.2.4

Dividi $2 x^{3}$ per $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6)$ .

$2 x^{2} (x - 6) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x^{2} (x - 6) = 0$ vera.

$x = 0, 6$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $6$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $5$ .

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$f (6) = \frac{1}{2 (5)} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $7776$ .

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 3888 - {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.3

$\frac{1}{5}$ e $3888$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - {(6)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1 \cdot 1296$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1296$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296$

Passaggio 4.3.2.2

Per scrivere $- 1296$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 4.3.2.3

$- 1296$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (6) = \frac{3888 - 1296 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Moltiplica $- 1296$ per $5$ .

$f (6) = \frac{3888 - 6480}{5}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Sottrai $6480$ da $3888$ .

$f (6) = \frac{- 2592}{5}$

Passaggio 4.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (6) = - \frac{2592}{5}$

Passaggio 4.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{2592}{5}$ .

$- \frac{2592}{5}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $6$ in $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ è $(6, - \frac{2592}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(6, - \frac{2592}{5})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (6, - \frac{2592}{5})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 2 {(- 0.1)}^{3} - 12 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = 2 \cdot - 0.001 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 \cdot 0.01$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 0.12$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.12$ da $- 0.002$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.122$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.122$ .

$- 0.122$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.122$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 6)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = 2 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$f'' (3) = 54 - 12 {(3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3) = 54 - 12 \cdot 9$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $9$ .

$f'' (3) = 54 - 108$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $108$ da $54$ .

$f'' (3) = - 54$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 54$ .

$- 54$

Passaggio 7.3

Per $3$ , la derivata seconda è $- 54$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 6)$ .

Decrescente su $(0, 6)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6.1$ nell'espressione.

$f'' (6.1) = 2 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $6.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (6.1) = 2 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $2$ per $226.981$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 {(6.1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $6.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 \cdot 37.21$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $37.21$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 446.52$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $446.52$ da $453.962$ .

$f'' (6.1) = 7.442$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $7.442$ .

$7.442$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $6.1$ , la derivata seconda è $7.442$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(6, \infty)$ .

Crescente su $(6, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(6, - \frac{2592}{5})$ .

$(6, - \frac{2592}{5})$

Passaggio 10