Calcolo Esempi

$\frac{1 + \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x}{1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 4.4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $x$ da $x - 2 (1 + \ln (x)) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 4.4.2.3

Scomponi $x$ da $- 2 (1 + \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 4.4.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 2 (1 + \ln (x))}{x^{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1 - 2 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 6.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 - \ln (x^{2})$ .

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Passaggio 6.3.4

Riscrivi $- 1 (1 + \ln (x^{2}))$ come $- (1 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Passaggio 6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$