Calcolo Esempi

$y = \frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{5}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{8} x$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5}{8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $\frac{5}{8}$ per $1$ .

$\frac{5}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Passaggio 1.3

Poiché $\frac{2}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{9}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $- \frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{6} x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{5}{8} + 0 + 3 (\frac{1}{6}) x^{- 4}$

Passaggio 1.4.4

$3$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6} x^{- 4}$

Passaggio 1.4.5

$\frac{3}{6}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 x^{- 4}}{6}$

Passaggio 1.4.6

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6 x^{4}}$

Passaggio 1.4.7

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

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Passaggio 1.4.7.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{6 x^{4}}$

Passaggio 1.4.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.7.2.1

Scomponi $3$ da $6 x^{4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{3 (2 x^{4})}$

Passaggio 1.4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{4})}$

Passaggio 1.4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{1}{2 x^{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Somma $\frac{5}{8}$ e $0$ .

$\frac{5}{8} + \frac{1}{2 x^{4}}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.8

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.9

$\frac{- 4}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.10

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.11

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 2.2.11.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.11.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{5}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{8}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{2}{x^{5}} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- \frac{2}{x^{5}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{5}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 5$ .

$- 2 (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$10 x^{- 6}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.2

$10$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{x^{6}}$