Calcolo Esempi

$y = {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$

Passaggio 2

Espandi $\ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$ spostando $x e^{x}$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia $x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x e^{x} \ln (x^{3} + 1)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x e^{x}$ e $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia.

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Passaggio 3.2.4.1

$\frac{1}{x^{3} + 1}$ e $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x^{3} + 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.4.2

$\frac{x}{x^{3} + 1}$ e $e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.4.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.4.6.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.4.6.2

$3$ e $\frac{x e^{x}}{x^{3} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.4.6.3

$\frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x}) x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x^{1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2 + 1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{3} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.7

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.2.8.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Passaggio 3.2.8.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 3.2.9

Per scrivere $\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \frac{\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11

Semplifica.

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Passaggio 3.2.11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.11.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.11.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + (\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.2

Espandi $(\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.11.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.11.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.11.1.1.3.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.3.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.11.1.1.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3 + 1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.3.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.3.2

Moltiplica $\ln (x^{3} + 1)$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \cdot \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.1.3.3

Moltiplica $\ln (x^{3} + 1)$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.1.2

Riordina i fattori in $3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Passaggio 3.2.11.2

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1^{3}} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Passaggio 5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

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Passaggio 5.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Passaggio 5.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

Passaggio 5.2

$\frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ e ${(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$ .

$y' = \frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $\frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ .

$y' = \frac{{(x^{3} + 1)}^{x e^{x}} (3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1))}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$