Calcolo Esempi

$e^{x} (1 + x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 + x$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + (1 + x) e^{x}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} + 1 e^{x} + x e^{x}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} + e^{x} + x e^{x}$

Passaggio 4.2.2

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$2 e^{x} + x e^{x}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori in $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$