Calcolo Esempi

$y = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (- \frac{x}{2})$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 (\sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (- \frac{x}{2}) (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (- \frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.3

$\frac{- 2}{2}$ e $\sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \sin (- \frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sin (- \frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3.4.2.4

Dividi $- \sin (- \frac{x}{2})$ per $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $\sin (- \frac{x}{2})$ è una funzione dispari, riscrivi $\sin (- \frac{x}{2})$ come $- \sin (\frac{x}{2})$ .

$- - \sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $- - \sin (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica $\sin (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Passaggio 6

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 7

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Passaggio 8.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (π - 0)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 9

La soluzione dell'equazione $\frac{x}{2} = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{\cos (\frac{0}{2})}{2}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{\cos (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Passaggio 11.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Passaggio 11.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Passaggio 11.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (\frac{0}{1})}{2}$

Passaggio 11.1.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{\cos (0)}{2}$

Passaggio 11.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 12

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 2 \cos (- \frac{0}{2})$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f (0) = - 2 \cos (- 0)$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Passaggio 13.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Passaggio 13.2.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 13.2.5

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $x = 2 π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Passaggio 15.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{\cos (π)}{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{- \cos (0)}{2}$

Passaggio 15.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 15.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 16

$x = 2 π$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2 π$ è un massimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 π$ nell'espressione.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Passaggio 17.2.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (- π)$

Passaggio 17.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (2 π) = - 2 (- \cos (0))$

Passaggio 17.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (2 π) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.2.4

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 17.2.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (2 π) = 2$

Passaggio 17.2.5

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 18

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$ .

$(0, - 2)$ è un minimo locale

$(2 π, 2)$ è un massimo locale

Passaggio 19