Calcolo Esempi

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Allora $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- 2 \csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \csc (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.1.4

Differenzia.

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Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.1.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.1.4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.4.5.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Passaggio 2.1.4.5.2

Riordina i fattori di $4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 3

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 \csc (2 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$