Calcolo Esempi

$y' = x + y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$\frac{d y}{d x} = x + y$

Passaggio 2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - y = x$

Passaggio 3

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 3.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 4

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x$

Passaggio 4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x}$

Passaggio 5

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x}$

Passaggio 6

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x$

Passaggio 8

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Passaggio 8.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Passaggio 8.4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 8.4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 8.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 8.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Passaggio 8.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Passaggio 8.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Passaggio 8.7

Riscrivi $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ come $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u} + C$

Passaggio 8.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$

Passaggio 9

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 9.3.1.1.2

Dividi $- x$ per $1$ .

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y = - x - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$