Calcolo Esempi

$y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia.

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Passaggio 4.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.8.3

Sposta ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 4.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 4.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Passaggio 4.13

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.13.1

$2$ e $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Passaggio 4.13.2

$\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.13.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.13.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.14

Semplifica.

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Passaggio 4.14.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.2

Moltiplica $1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.3

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.14.3.1

Moltiplica $\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.3.2

Combina.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.14.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.5

Elimina il fattore comune di ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.14.5.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 4.14.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.6

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.14.7.1

Moltiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.14.7.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.7.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Passaggio 4.14.7.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.14.7.1.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{1}}$

Passaggio 4.14.7.2

Semplifica ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 + x^{2}}$

Passaggio 4.14.7.3

Riordina i termini.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$