Calcolo Esempi

$\int 8 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = \sin (θ)$ . Allora $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ , quindi $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = \sin (θ)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 3

Metti in evidenza $\cos^{4} (u_{1})$ .

$8 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$8 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$8 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (u_{1})$ come $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$8 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$8 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Espandi ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ come $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$8 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.5

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.6

Sposta ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$8 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.11

Moltiplica ${u_{2}}^{2}$ per $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.12

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Passaggio 7.13

Somma $2$ e $2$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Passaggio 7.14

Sottrai ${u_{2}}^{2}$ da $- {u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Passaggio 7.15

Riordina $- 2 {u_{2}}^{2}$ e ${u_{2}}^{4}$ .

$8 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.16

Sposta $1$ .

$8 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$8 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{4}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Passaggio 10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

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Passaggio 13.1.1

$\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Passaggio 13.1.2

$\frac{1}{5}$ e ${u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (θ)$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$8 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$