Calcolo Esempi

${(\frac{1 - x}{x})}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(\frac{1 - x}{x})}^{2} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - x}{x}$ .

$\int \frac{{(1 - x)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(1 - x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 - x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int {(1 - x)}^{2} x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 1 - x$ . Allora $d u_{1} = - d x$ , quindi $- d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - {u_{1}}^{2} {(- u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int {u_{1}}^{2} {(- u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Allora $d u_{2} = - d u_{1}$ , quindi $- d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $- u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- u_{1} + 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 7.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 7.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 7.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$- 1 + 0$

Passaggio 7.1.4.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$- 1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \int - {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- - \int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$ per $1$ .

$\int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 10

Sia $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Allora $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Passaggio 10.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\int {(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e ${(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Passaggio 11.2

$\frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2}$ e ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Passaggio 11.3

Sposta ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Passaggio 11.4

Riscrivi ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ come $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Passaggio 13

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{3}}$ come ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Passaggio 13.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ come ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Passaggio 13.3

Sposta ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Passaggio 13.4

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Passaggio 13.4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 13.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riscrivi ${(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ come $(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \int - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.8

Sposta ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.9

Sposta ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.11

Moltiplica ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.14

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.15.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 14.15.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.16

Semplifica.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.17

Eleva $u_{3}$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 14.18

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.19

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.21

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.22

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.23

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.24

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.26

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.27

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.27.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.27.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.27.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.27.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.27.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.27.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.28

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.29

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.30

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.32

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.33

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.33.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.33.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.33.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.33.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.33.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.33.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.34

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.35

Moltiplica ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.36

Sottrai ${u_{3}}^{- 1}$ da $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 14.37

Riordina ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ e $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Passaggio 16

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Passaggio 17

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Passaggio 18

L'integrale di ${u_{3}}^{- 1}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Passaggio 19

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{3}$ è $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Passaggio 20

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $u_{3}$ è $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 21

Semplifica.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 22

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 22.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(- u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 22.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - x$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- (1 - x) + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 - - x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.1.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 + 1 x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 + x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.2

Combina i termini opposti in $- 1 + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.3

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln ({(x + 0)}^{2}) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 - - x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.5.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 + 1 x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.5.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 + x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.6

Combina i termini opposti in $- 1 + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.6.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x + 0)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.6.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.7

Semplifica.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 23.1.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.8.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.8.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Passaggio 23.1.8.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.8.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Passaggio 23.1.8.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{1}}) + C$

Passaggio 23.1.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{1}}) + C$

Passaggio 23.1.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 - - x + 1)}^{1}}) + C$

Passaggio 23.1.8.2.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.8.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 + 1 x + 1)}^{1}}) + C$

Passaggio 23.1.8.2.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 + x + 1)}^{1}}) + C$

Passaggio 23.1.8.3

Combina i termini opposti in $- 1 + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.8.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x + 0)}^{1}}) + C$

Passaggio 23.1.8.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C$

Passaggio 23.1.8.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C$

Passaggio 23.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Passaggio 23.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Passaggio 23.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Passaggio 23.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Passaggio 23.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Passaggio 23.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Passaggio 23.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Passaggio 23.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{x}$ nel numeratore.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C$

Passaggio 23.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C$

Passaggio 23.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C$

Passaggio 23.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{- 1}{x} + C$

Passaggio 23.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \ln (x^{2}) + x - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 24

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \ln (x^{2}) + x - \frac{1}{x} + C$