Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Passaggio 6.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Passaggio 6.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Passaggio 6.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Passaggio 6.6

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ per $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 8.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Passaggio 10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Calcola $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ per $e$ e per $1$ .

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

Passaggio 10.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi $\ln (1)$ per $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

Passaggio 10.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

Passaggio 10.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

Passaggio 10.2.2.4

Per scrivere $- (- \ln (1) - 1)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

Passaggio 10.2.2.5

$- (- \ln (1) - 1)$ e $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Passaggio 10.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Passaggio 10.2.2.7

Per scrivere $- e^{- 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Passaggio 10.2.2.8

$- e^{- 1}$ e $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Passaggio 10.2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 10.2.2.10

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 10.2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 10.2.2.12

Sottrai $1$ da $1$ .

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 10.2.2.13

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 10.2.2.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 10.2.2.15

$- 2$ e $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ .

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Passaggio 10.2.2.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Passaggio 11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Passaggio 11.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

Passaggio 11.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

Passaggio 11.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

Passaggio 11.6

Moltiplica $e$ per $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

Passaggio 11.7

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Forma decimale:

$- 0.52848223 \dots$