Calcolo Esempi

$\int \frac{7 x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

Passaggio 1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$7 \int \frac{x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x - 3}$

Passaggio 2.1.2

$\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $2 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune di $2 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{A (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Dividi $(A) (x + 2)$ per $1$ .

$x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$x = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = A x + 2 A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.1.6.4.2

Dividi $(B) (2 x - 3)$ per $1$ .

$x = A x + 2 A + (B) (2 x - 3)$

Passaggio 2.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + 2 A + B (2 x) + B \cdot - 3$

Passaggio 2.1.6.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = A x + 2 A + 2 B x + B \cdot - 3$

Passaggio 2.1.6.7

Sposta $- 3$ alla sinistra di $B$ .

$x = A x + 2 A + 2 B x - 3 B$

Passaggio 2.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Sposta $B$ .

$x = A x + 2 A + 2 x B - 3 B$

Passaggio 2.1.7.2

Sposta $2 A$ .

$x = A x + 2 x B + 2 A - 3 B$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + 2 B$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 2 A - 3 B$

Passaggio 2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$0 = 2 A - 3 B$

Passaggio 2.3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 2 A - 3 B$ con $1 - 2 B$ .

$0 = 2 (1 - 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica $2 (1 - 2 B) - 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = 2 \cdot 1 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 = 2 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Sottrai $3 B$ da $- 4 B$ .

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = 2 - 7 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 - 7 B = 0$ .

$2 - 7 B = 0$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.3.3

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 B = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.3.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 B = - 2$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{2}{7}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - 2 B$ con $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 - 2 (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Semplifica $1 - 2 (\frac{2}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1.1.1

Moltiplica $- 2 (\frac{2}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1.1.1.1

$- 2$ e $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 2.3.4.2.1.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 2.3.4.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 2.3.4.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{7}{7} - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 2.3.4.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{7 - 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 2.3.4.2.1.2.3

Sottrai $4$ da $7$ .

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Passaggio 2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{3}{7}, B = \frac{2}{7}$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{7}}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{3}{7}$ per $\frac{1}{2 x - 3}$ .

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $\frac{2}{7}$ per $\frac{1}{x + 2}$ .

$7 \int \frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7 (x + 2)} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$7 (\int \frac{3}{7 (2 x - 3)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{3}{7}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{7}$ fuori dall'integrale.

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 x - 3} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 2 x - 3$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 2 x - 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$7 (\frac{3}{7} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{7}$ .

$7 (\frac{3}{2 \cdot 7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$7 (\frac{3}{14} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{2}{7}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{7}$ fuori dall'integrale.

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = x + 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$7 (\frac{3}{14} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x - 3$ .

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 2$ .

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$\frac{3}{14}$ e $\ln (| 2 x - 3 |)$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

Passaggio 15.1.2

$\frac{2}{7}$ e $\ln (| x + 2 |)$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}) + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Passaggio 15.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $14$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ per $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2}) + C$

Passaggio 15.3.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14}) + C$

Passaggio 15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14} + C$

Passaggio 15.5

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Scomponi $7$ da $14$ .

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 (2)} + C$

Passaggio 15.5.2

Elimina il fattore comune.

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2} + C$

Passaggio 15.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 15.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)}{2} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)) + C$