Calcolo Esempi

$x^{2} + 5 y^{3} = x + 9$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (x + 9)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x + 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 5 (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$2 x + 15 y^{2} y'$

Passaggio 2.3

Riordina i termini.

$15 y^{2} y' + 2 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 3.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$15 y^{2} y' + 2 x = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 y^{2} y' = 1 - 2 x$

Passaggio 5.2

Dividi per $15 y^{2}$ ciascun termine in $15 y^{2} y' = 1 - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $15 y^{2}$ ciascun termine in $15 y^{2} y' = 1 - 2 x$ .

$\frac{15 y^{2} y'}{15 y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 y^{2} y'}{15 y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{15 y^{2}} - \frac{2 x}{15 y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{15 y^{2}} - \frac{2 x}{15 y^{2}}$