Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{1 + 3 x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{1 + 3 x}$ come ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 1 + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 3 x$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$3$ e $\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 14.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{{(3 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$