Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $\frac{1}{2^{4 x}}$ come ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = - 4 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 4 x$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $2^{- 4 x} \ln (2)$ .

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

Passaggio 3.3.3.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Passaggio 3.3.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$