Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{3 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{9} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta l'esponente $9$ da ${(4 x + 1)}^{9}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 4 x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 \cdot 0 + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(0 + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(4 x + 1)}^{9} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}]$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = 4 x + 1$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 u^{8} \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.7

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.8

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Somma $36 {(4 x + 1)}^{8}$ e $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8}}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $36 {(4 x + 1)}^{8}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 36 {(4 x + 1)}^{8}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $36$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{8}$

Passaggio 3.2

Sposta l'esponente $8$ da ${(4 x + 1)}^{8}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(lim_{x \to 0} 4 x + 1)}^{8}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)}^{8}$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{8}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{8}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (12)) {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 12) {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$12 {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$12 {(0 + 1)}^{8}$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $1$ .

$12 \cdot 1^{8}$

Passaggio 5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1$

Passaggio 5.5

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12$