Calcolo Esempi

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = \ln (x) + 1$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \ln (x) + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\ln (x) + 1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x} + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x) + 1$ .

$2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ .

$F (x) =$ $2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$