Calcolo Esempi

$\int 4 x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

Passaggio 2

Espandi $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(3 x + 1)}^{2}$ come $(3 x + 1) (3 x + 1)$ .

$4 \int x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1)) d x$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)) d x$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)) d x$

Passaggio 2.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.6

Applica la proprietà distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.7

Applica la proprietà distributiva.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.8

Sposta $x$ .

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.9

Sposta le parentesi.

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x) x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.10

Sposta le parentesi.

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3) x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.11

Sposta $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.12

Sposta $x$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1 x) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.13

Sposta le parentesi.

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1) x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.14

Sposta $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.15

Sposta le parentesi.

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 3) x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.16

Sposta $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Passaggio 2.17

Sposta $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.18

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 \int 9 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.19

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \int 9 (x^{2} x^{1}) x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \int 9 x^{2 + 1} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.21

Somma $2$ e $1$ .

$4 \int 9 x^{3} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.22

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \int 9 (x^{3} x^{1}) + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.23

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \int 9 x^{3 + 1} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.24

Somma $3$ e $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.25

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.26

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.27

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.28

Somma $2$ e $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.29

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.30

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.31

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.32

Somma $2$ e $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.33

Moltiplica $1$ per $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 x^{2} d x$

Passaggio 2.34

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} d x$

Passaggio 2.35

Somma $3 x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$4 \int 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} d x$

$4 \int 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int 9 x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Passaggio 4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$4 (9 \int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 9.1.2

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 9.1.3

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{x^{3}}{3} + C)$

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{x^{3}}{3} + C)$

Passaggio 9.2

Semplifica.

$4 (\frac{9 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}) + C$

Passaggio 9.3

Riordina i termini.

$4 (\frac{9}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}) + C$

$4 (\frac{9}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$