Calcolo Esempi

$y = \sqrt{2 p x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 p x}$ come ${(2 p x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $2$ da $2 p x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (p x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 (p x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3

Poiché $2^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = p x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $p x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $p x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 8

$\frac{1}{2}$ e ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{{(p x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 9

Sposta ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x])$

Passaggio 10

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Passaggio 11

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1

Sposta $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Passaggio 12.2

Moltiplica $2^{- \frac{1}{2}}$ per $2$ .

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Passaggio 12.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Passaggio 12.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Passaggio 12.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Passaggio 12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Passaggio 12.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Passaggio 13

Poiché $p$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $p x$ rispetto a $x$ è $p \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} (p \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

$p$ e $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 16

Moltiplica $\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Applica la regola del prodotto a $p x$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} (p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 17.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 17.2.1

Sposta $p^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{p \cdot p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2.2

Moltiplica $p$ per $p^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 17.2.2.1

Moltiplica $p$ per $p^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 17.2.2.1.1

Eleva $p$ alla potenza di $1$ .

$\frac{p^{1} p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{p^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{p^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{p^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{p^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$