Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x - x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 - (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 - 2 x$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 2 x + 6$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x + 6 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 - (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 - 2 x$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 2 x + 6$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + 6$ .

$- 2 x + 6$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + 6 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 6$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 6$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 6$ per $- 2$ .

$x = 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2$

Passaggio 9

$x = 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = 6 (3) - {(3)}^{2}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f (3) = 18 - {(3)}^{2}$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 18 - 1 \cdot 9$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (3) = 18 - 9$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $9$ da $18$ .

$f (3) = 9$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $9$ .

$y = 9$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 6 x - x^{2}$ .

$(3, 9)$ è un massimo locale

Passaggio 12