Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x^{5} - 7$ . Allora $d u = 10 x^{4} d x$ , quindi $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x^{5} - 7$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x^{5} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{5} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{5}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x^{4} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $10 x^{4}$ e $0$ .

$10 x^{4}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 - 7$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $7$ da $0$ .

$u_{lower} = - 7$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2 - 7$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $7$ da $2$ .

$u_{upper} = - 5$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

Passaggio 2

$e^{u}$ e $\frac{1}{10}$ .

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

Passaggio 5

Calcola $e^{u}$ per $- 5$ e per $- 7$ .

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{10} \cdot (e^{- 5} - e^{- 7})$

Forma decimale:

$0.00058260 \dots$