Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \csc (x)$ . Allora $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , quindi $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \csc (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 2.1.3

Riordina i fattori di $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{4})$ è $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

Passaggio 3

Riscrivi $- 1 u$ come $- u$ .

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Passaggio 7

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $1$ e per $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Passaggio 8.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 8.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 8.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

Passaggio 8.2.2.5

Calcola l'esponente.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Passaggio 8.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

Passaggio 8.2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 8.2.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Passaggio 8.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.2.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

Passaggio 8.2.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 8.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Passaggio 8.2.11

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Passaggio 8.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimale:

$- 1.5$

Forma numero misto:

$- 1 \frac{1}{2}$