Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (x + 3) - \ln (5)}{x - 2}$

Passaggio 1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x + 3}{5})}{x - 2}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x + 3}{5})}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{5})}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to 2} x + 3)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (lim_{x \to 2} x + 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} (2 + 3))}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 2.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x + 3}{5})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 3}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 3}{5})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x + 3}{5}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x + 3}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x + 3}{5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{5}{x + 3} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $\frac{5}{x + 3}$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{x + 3} \frac{d}{d x} [\frac{x + 3}{5}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x + 3}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{x + 3} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x + 3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{5}{x + 3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{5 (x + 3)} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.7

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{5}{5 (x + 3)} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.12

Moltiplica $\frac{1}{x + 3}$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 2.3.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 2.3.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 2.3.15

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1 + 0}$

Passaggio 2.3.16

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x + 3}}{1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1}{x + 3}$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{1}{2 + 3}$

Passaggio 5

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{1}{5}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{5}$

Forma decimale:

$0.2$