Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1.2

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} (\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ per $\frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{(\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.2.3

Calcola il limite inserendo $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Calcola il limite di $\arcsin (x)$ inserendo $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $x$ .

$2 \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{\frac{π - π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.2.4.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$2 \frac{\frac{0}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.2.4.4

Dividi $0$ per $3$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Calcola il limite di $\sqrt{3}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $x$ .

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{0}{\sqrt{3} - \sqrt{3}}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Sottrai $\sqrt{3}$ da $\sqrt{3}$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}} = lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.2

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\arcsin (x) - \frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.4

La derivata di $\arcsin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- \frac{π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.6

Somma $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ e $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \cdot 2 - \sqrt{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Passaggio 3.3.8.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.8.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.8.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Passaggio 3.3.9

Poiché $- \sqrt{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sqrt{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + 0}$

Passaggio 3.3.10

Somma $2$ e $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 2}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 4.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - x^{2}}}$

Passaggio 4.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

Passaggio 4.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

Passaggio 4.7

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x)}^{2}}}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}}$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}$

Passaggio 6.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}$

Passaggio 6.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

Passaggio 6.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

Passaggio 6.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{2^{2}}}}$

Passaggio 6.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{2^{2}}}}$

Passaggio 6.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}}$

Passaggio 6.3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}$

Passaggio 6.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 3}{4}}}$

Passaggio 6.3.6

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 6.3.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}$

Passaggio 6.3.8

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{4}}}$

Passaggio 6.3.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

Passaggio 6.3.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 2$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$