Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}$ come ${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ come ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Passaggio 4.1.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 6 x$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.7.2

${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 4.10

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \cdot 1)$

Passaggio 4.12

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$

Passaggio 4.13

Semplifica.

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Passaggio 4.13.1

Riordina i fattori di $- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$ .

$- (2 x - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- (2 x) - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- 2 x - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.4

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$(- 2 x + 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.5

Moltiplica $- 2 x + 6$ per $\frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2 x + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.6

Scomponi $2$ da $- 2 x + 6$ .

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Passaggio 4.13.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.6.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.6.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (- x + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.7

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.8

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.9

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.10

Riscrivi $- (x - 3)$ come $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.13.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$