Calcolo Esempi

$\int \frac{18 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , sposta $18$ fuori dall'integrale.

$18 \int \frac{\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Allora $d u_{2} = 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 + \tan^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \tan^{3} (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + \tan^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 2.1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Somma $0$ e $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori di $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Passaggio 3.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${u_{2}}^{2}$ .

$18 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$18 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{3}$ e $18$ .

$\frac{18}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $18$ e $3$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.1.2.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$6 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ come $6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \frac{1}{u_{2}} + C$

Passaggio 7.2.2

$- 6$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 6}{u_{2}} + C$

Passaggio 7.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6}{u_{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 + \tan^{3} (x)$ .

$- \frac{6}{2 + \tan^{3} (x)} + C$