Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

Passaggio 2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Passaggio 3

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Passaggio 4

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

Passaggio 5

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0$ . Di conseguenza, il limite di $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0$ .

$0$

Passaggio 6

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Passaggio 7

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da destra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$\infty$

Passaggio 8

Poiché i limiti destro e sinistro non sono uguali, il limite non esiste.

$Non esiste$