Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.8

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.9

$\frac{3}{2}$ e ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ e $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$2$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 3 x - 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.8

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.2.9

$\frac{3}{2}$ e ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Dividi ${(x - 2)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3.2

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.3.3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$3 (2) - 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 - 6$

Passaggio 9.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata prima $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (0) = \frac{12}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Dividi $12$ per $2$ .

$f' (0) = 6$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (4) = \frac{12}{2}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Dividi $12$ per $2$ .

$f' (4) = 6$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11