Calcolo Esempi

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ come $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Passaggio 4.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Passaggio 4.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Passaggio 4.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Passaggio 4.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.4

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Passaggio 4.3.1.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 4.3.1.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4.3.2

Riordina i fattori di $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $\cos (x) \sin (x)$ da $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4.4

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 8

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 8.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - 2 \int - u d u$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 (- \int u d u)$

Passaggio 10

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$x + C + 2 \int u d u$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Passaggio 12.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x + 1 u^{2} + C$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$x + u^{2} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$x + \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \cos^{2} (x) + C$