Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Passaggio 1.2.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Passaggio 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.9

$2$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Passaggio 4.1.2.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Passaggio 4.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x = 0$

Passaggio 5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.3

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{2}{1^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{1}$

Passaggio 9.3

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \ln ({(0)}^{2} + 1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 1)$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Passaggio 11.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 13