Calcolo Esempi

$\int (2 x^{2} + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{7}} - 4 \sin (x) + 2 e^{x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int 2 x^{2} + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{7}} - 4 \sin (x) + 2 e^{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Sposta $x^{7}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {(x^{7})}^{- 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {(x^{7})}^{- 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{7})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int x^{7 \cdot - 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int x^{- 7} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 7}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{6} x^{- 6}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6} x^{- 6} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$x^{- 6}$ e $\frac{1}{6}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{x^{- 6}}{6} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 10.2

Sposta $x^{- 6}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 11

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 \int \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 13

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + 2 \int e^{x} d x$

Passaggio 14

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + 2 (e^{x} + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica.

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{5}{6 x^{6}} + 4 \cos (x) + 2 e^{x} + C$

Passaggio 15.2

Riordina i termini.

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{5}{6 x^{6}} + 4 \cos (x) + 2 e^{x} + C$