Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{1 + x^{4}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{4}$ .

$2 \frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $1 + x^{4}$ per $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 4

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $3$ e $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5

Sottrai $4 x^{4}$ da $x^{4}$ .

$2 \frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 6

$2$ e $\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{2 - 6 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$