Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = \ln (y)$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , quindi $y d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = \ln (y)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $y$ in $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Passaggio 1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $y$ in $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Passaggio 1.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $u_{1}$ in $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 2.3

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $u_{1}$ in $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Passaggio 4

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $2$ e per $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Passaggio 6.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Passaggio 6.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (2)$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2)$

Forma decimale:

$0.69314718 \dots$