Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (2 x) - \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (2 x) - \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (2 x) - (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$