Calcolo Esempi

$y = (4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x^{3} + 8$ e $g (x) = 2 x^{7} - 3$ .

$(4 x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 3] + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{7} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(4 x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{7}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$(4 x^{3} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$(4 x^{3} + 8) (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $7$ per $2$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + 0) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $14 x^{6}$ e $0$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6}) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $14$ alla sinistra di $4 x^{3} + 8$ .

$14 \cdot (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.2.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 3.2.11

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + 0)$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.12.1

Somma $12 x^{2}$ e $0$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2})$

Passaggio 3.2.12.2

Sposta $12$ alla sinistra di $2 x^{7} - 3$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + 12 \cdot (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(14 (4 x^{3}) + 14 \cdot 8) x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + (12 (2 x^{7}) + 12 \cdot - 3) x^{2}$

Passaggio 3.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.5.1

Moltiplica $4$ per $14$ .

$56 x^{3} x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.5.2.1

Sposta $x^{6}$ .

$56 (x^{6} x^{3}) + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$56 x^{6 + 3} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.2.3

Somma $6$ e $3$ .

$56 x^{9} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.3

Moltiplica $14$ per $8$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.4

Moltiplica $2$ per $12$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{7} x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.5

Moltiplica $x^{7}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.5.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 (x^{2} x^{7}) + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{2 + 7} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.5.3

Somma $2$ e $7$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.6

Moltiplica $12$ per $- 3$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} - 36 x^{2}$

Passaggio 3.3.5.7

Somma $56 x^{9}$ e $24 x^{9}$ .

$80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$