Calcolo Esempi

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

Passaggio 2

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 3

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

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Passaggio 3.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 3.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 3.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

Passaggio 3.4

Rimuovi le parentesi.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Passaggio 3.5

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $e^{r x}$ da $3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Passaggio 3.5.4

Scomponi $e^{r x}$ da $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

Passaggio 3.5.5

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

Passaggio 3.6

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

Passaggio 4

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $6$ da $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $r^{2} + 3 r - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $r - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $r - 1$ uguale a $0$ .

$r - 1 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r = 1$

Passaggio 4.6

Imposta $r + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $r + 4$ uguale a $0$ .

$r + 4 = 0$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r = - 4$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(r - 1) (r + 4) = 0$ vera.

$r = 1, - 4$

Passaggio 5

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

Passaggio 6

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

Passaggio 7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$