Calcolo Esempi

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 6$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

Passaggio 2

Espandi $(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 2.4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $2$ .

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Passaggio 2.8

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

Passaggio 2.9

Somma $12 u^{2}$ e $u^{2}$ .

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $13$ è costante rispetto a $u$ , sposta $13$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 8.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 8.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Passaggio 8.2.3

$13$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$