Calcolo Esempi

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $- 7 x + 5 x^{5}$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $- 7 x$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x$ da $5 x^{5}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 9$ fuori dall'integrale.

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = - 9 x$ . Allora $d u = - 9 d x$ , quindi $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = - 9 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{9}$ .

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$\frac{1}{9}$ e $9$ .

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 11.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 11.3

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Passaggio 13

Riordina $- 7$ e $5 x^{4}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

Passaggio 14

Dividi $5 x^{4} - 7$ per $x$ .

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Passaggio 14.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Passaggio 14.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Passaggio 14.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Passaggio 14.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{4} + 0$

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Passaggio 14.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Passaggio 14.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 14.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

Passaggio 15

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Passaggio 16

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Passaggio 17

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Passaggio 18

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Passaggio 19

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

Passaggio 20

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 21

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 22

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 23

Semplifica.

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Passaggio 24

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 9 x$ .

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Passaggio 25

Riordina i termini.

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Passaggio 26

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$