Calcolo Esempi

$\int {(2 + e^{x})}^{- 6} e^{x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + e^{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{- 6} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 6}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ come $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{5}}$ per $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

Passaggio 3.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + e^{x}$ .

$- \frac{1}{5 {(2 + e^{x})}^{5}} + C$