Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} {(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$ come $e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$ .

$lim_{x \to 2} e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})$ spostando $\frac{1}{x - 2}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 2} e^{\frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x - 2}$ e $\ln (\frac{x}{2})$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Passaggio 3.1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$e^{\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{\frac{0}{2 - 2}}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Passaggio 3.3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

Passaggio 3.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

Passaggio 3.3.12

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

Passaggio 3.3.13

Somma $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 2} x}}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{\frac{1}{2}}$

Forma decimale:

$1.64872127 \dots$