Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2$ at $x = - 1$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = - 1$ .

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Passaggio 1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$y = - {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 1.2

Semplifica $- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$ .

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ .

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Passaggio 1.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 1.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = {(- 1)}^{1 + 3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 1.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 1.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 2$

Passaggio 1.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$y = 1 - 5 + 2$

Passaggio 1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 1.2.2.1

Sottrai $5$ da $1$ .

$y = - 4 + 2$

Passaggio 1.2.2.2

Somma $- 4$ e $2$ .

$y = - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 1$ e $y = - 2$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} - 5 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 3 x^{2} - 10 x$ e $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = - 1$ .

$- 3 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 3 \cdot 1 - 10 \cdot - 1$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica $- 10$ per $- 1$ .

$- 3 + 10$

Passaggio 2.6.2

Somma $- 3$ e $10$ .

$7$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $7$ e un punto dato $(- 1, - 2)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $7 \cdot (x + 1)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y + 2 = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 = 7 x + 7 \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$y + 2 = 7 x + 7$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 7 x + 7 - 2$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$y = 7 x + 5$

Passaggio 4