Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 5

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 5.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.4

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.5.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 5.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.5.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Passaggio 5.1.5.2

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Passaggio 5.1.5.2.1

Scomponi $x + 1$ da $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 5.1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.5.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Passaggio 5.1.5.2.2.4

Dividi $B (x + 1)$ per $1$ .

$x = A + B (x + 1)$

Passaggio 5.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 5.1.5.4

Moltiplica $B$ per $1$ .

$x = A + B x + B$

Passaggio 5.1.6

Riordina $A$ e $B x$ .

$x = B x + A + B$

Passaggio 5.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 5.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = B$

Passaggio 5.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 5.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = B$

$0 = A + B$

$1 = B$

$0 = A + B$

Passaggio 5.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 5.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = A + B$ con $1$ .

$0 = A + 1$

$B = 1$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $A$ in $0 = A + 1$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A + 1 = 0$ .

$A + 1 = 0$

$B = 1$

Passaggio 5.3.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

Passaggio 5.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = - 1 B = 1$

Passaggio 5.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 1, B = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 (- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 9.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 (- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$2 (\frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |)) + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |)) + C$