Calcolo Esempi

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin^{4} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Scomponi $4 \cos (x) \sin (x)$ da $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $4 \cos (x) \sin (x)$ da $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $4 \cos (x) \sin (x)$ da $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $4 \cos (x) \sin (x)$ da $4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 4.2

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 4.3

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

Passaggio 4.4

Scomponi $- 1$ da $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

Passaggio 4.5

Rimetti in ordine i termini.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

Passaggio 4.6

Applica l'identità pitagorica.

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

Passaggio 4.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$