Calcolo Esempi

$y = \frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + 3 x$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Sposta $3$ alla sinistra di $2 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) \cdot 1 - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica.

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Passaggio 3.2.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 1 (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $1 + 3 x$ per $1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.14

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + 3 x$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 2 \cdot (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + (2 \cdot 1 + 2 (3 x)) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.4.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.4.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 (x \cdot x))}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 6 x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Somma $- 3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{6 + 3 x^{2} + 2 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$