Calcolo Esempi

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 1

Scrivi $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ come funzione.

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = \sec (3 x)$ . Allora $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = \sec (3 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.1.2.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Passaggio 5.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Passaggio 5.1.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ come $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Passaggio 7.2

$4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (3 x)$ .

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

Passaggio 8

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$